目次
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【問題一覧】
1. 計算問題
$$
0.5 \times 7
$$
2. 式の整理
$$
10a – (6a + 8)
$$
3. 方程式を解く
$$
2x + 7 = 1
$$
4. 連立方程式を解く
\begin{cases}
3x + y = 1 \\
x – 2y = -6
\end{cases}
5. 反比例の問題
y は x に反比例し、\( x=2, y=15\) のとき、x=5 のときの y を求めよう。
6. 仕事の効率
4人で6時間かかる仕事を、3人で行うと何時間かかるか？
7. 扇形の面積
半径 5cm、中心角 90° の扇形の面積を求めよう。
8. 9角形の内角の和
9角形の内角の和を求めよう。
9. 平均値・中央値・最頻値
次の 8個のデータの平均値・中央値・最頻値を求めよう。
$$
16,\;17,\;17,\;17,\;22,\;23,\;23,\;25
$$
10. 確率
3枚のコインを投げて、2枚が表・1枚が裏になる確率を求めよう。
【解説】
1. 計算問題
\(0.5 \times 7 = 3.5\)
解説
0.5 は \(\frac{1}{2}\) なので
\(\frac{1}{2} \times 7 = \frac{7}{2} = 3.5\)
2. 式の整理
\(\begin{eqnarray}\\&10a – ( 6a +8 )\\ &= 10 a – 6a -8\\ &= 4a -8\end{eqnarray}\)
解説
\(-(6a+8)\)を展開したときに、\(-6a+8\)と計算ミスをしないように要注意！！
3. 方程式を解く
\(2x+7=1\)より、
まずは左辺の+7を右辺に移行して、\(2x=1-7\)と変形する。
これを計算すると、\(2x=-6\)となる。
最後に両辺を2で割って、\(x=-3\)
4. 連立方程式を解く
\begin{cases}
3x + y = 1・・・① \\
x – 2y = -6・・・②
\end{cases}
①の\(3x + y = 1\) を\(y = 1 – 3x\)に変形する
これを②の\(x – 2y = -6\) に代入すると、
\(x- 2(1 – 3x) = -6\)となる。
これを計算すると、\(x – 2 + 6x = -6\)より、
\(7x – 2 = -6\)となる。
左辺の\(-2\)を右辺に移項すると、\(7x=-4\)となり、
両辺を7で割ると、\(x = -\frac{4}{7}\)となる。
\(x = -\frac{4}{7}\) を使って yを\(x – 2y = -6\)に代入すると、
\(-\frac{4}{7}\) – 2y = -6となり、
\(-\frac{4}{7}\)を右辺に移項すると、
\(-2y = -6+\frac{4}{7}\)となり、
\(-2y =-\frac{42}{7}\ +\frac{4}{7}\)より、
\(-2y =-\frac{38}{7}\)なので、両辺を-2で割ると、
\(y = \frac{19}{7}\)となる
よって解は、\(x = -\frac{4}{7},\quad y = \frac{19}{7}\)
解説
連立方程式の解法には、加減法と代入法がある。
使い分けをできるようにしておくと、計算を早く正確にこなせる。
5. 反比例の問題
反比例とあるので、\(y = \frac{a}{x}\)を利用する。
反比例の式に\(x=2, y=15\)を代入すると、
\(15 = \frac{a}{2}\)となり、
この式の両辺を2倍すると、
\(a=30\)となる。
よって、この反比例の式は\(y = \frac{30}{x}\)であり、
これに\(x=5\)を代入すると、
\(y = \frac{30}{5}\)より、
\(y = 5\)となる。
解説
比例:\(y = ax\)
反比例:\(y = \frac{a}{x}\)
一次関数:\(y = ax + b\)
関数の問題はこれらの式を使い、問題文にある数値を代入することが大切！！
6. 仕事の効率
まず仕事の合計量を求めると、 \(4 \times 6 = 24\)となるので、
3人で行う場合の必要な時間を\(x\)として式を作ると、\(3\times x = 24\)より、
\(x＝8\)となる。
よって、答えは8時間。
解説
人数 ✕ 時間 ＝ 合計量
7. 扇形の面積
円の面積は、\(\pi \times 5^2 = 25\pi\)であり、
中心角が90°なので、求める扇形は円全体の \(\frac{90}{360} = \frac{1}{4}\)より、
扇形の面積は、\(\frac{1}{4} \times 25\pi = \frac{25\pi}{4}\)
解説
扇型の面積 ＝ 半径 ✕ 半径 ✕ \(\pi\) ✕ \(\frac{x}{360}\)
（xの部分に、中心角の角度を代入する）
8. 9角形の内角の和
\(180^\circ \times (9 – 2) = 1260^\circ\)
解説
n角形の内角の和 ＝ \(180 \times (n – 2)\)
9. 平均値・中央値・最頻値
データは、\(（16,\;17,\;17,\;17,\;22,\;23,\;23,\;25)\)である
まずは平均値を求めてみる。
すべてのデータを足すと、
合計は\(16 + 17 + 17 + 17 + 22 + 23 + 23 + 25 = 160\)となり、
データの個数が8個なので、
平均値は、\(\frac{160}{8} = 20\)となる
次に中央値を求めてみる。
8個のうち、真ん中は4番目であるが、
今回は偶数なので、
「左から4番目（17）」と「右から4番目（22）」を足して2で割る必要がある。
よって、中央値は、\(\frac{17 + 22}{2}\) = 19.5
最頻値はもっとも登場回数が多い、17 (3回出現)である。
解説
今回はデータが小さい順に並んでいたが、「データの大きさがバラバラに並べられた問題」に出会ったら、まずはデータを小さな順に並べてあげることから始めよう！
10. 確率
3枚のコインの出方は、 \(2^3 = 8\) 通り
表を⚪︎、裏を⚫︎とすると、
2枚が表・1枚が裏の内訳は、
(⚪︎⚪︎⚫︎, ⚪︎⚫︎⚪︎, ⚫︎⚪︎⚪︎) の3通り
よって、答えは\(\frac{3}{8}\)
解説
コインの確率では「樹形図」、サイコロの問題では「表」を描くのが有効
